Što je eksponencijalna raspodjela?
Eksponencijalna raspodjela odnosi se na kontinuiranu i konstantnu raspodjelu vjerojatnosti koja se zapravo koristi za modeliranje vremenskog razdoblja koje osoba treba pričekati prije nego što se dogodi određeni događaj, a ta je raspodjela kontinuirani pandan geometrijskoj raspodjeli koja je umjesto toga različita.
Formula eksponencijalne raspodjele
Kaže se da kontinuirana slučajna varijabla x (s parametrom skale λ> 0) ima eksponencijalnu raspodjelu samo ako se njezina funkcija gustoće vjerojatnosti može izraziti množenjem parametra skale s eksponencijalnom funkcijom minus parametar ljestvice i x za sve x veće od ili jednak nuli, inače je funkcija gustoće vjerojatnosti jednaka nuli.
Matematički je funkcija gustoće vjerojatnosti predstavljena kao,
takav da je srednja vrijednost jednaka 1 / λ, a varijansa jednaka 1 / λ2.
Izračun eksponencijalne raspodjele (korak po korak)
- Korak 1: Prvo, pokušajte otkriti je li razmatrani događaj kontinuirane i neovisne prirode i događa li se otprilike konstantno. Bilo koji praktični događaj osigurat će da je varijabla veća ili jednaka nuli.
- Korak 2: Zatim odredite vrijednost parametra ljestvice, koja je uvijek recipročna vrijednost srednje vrijednosti.
- λ = 1 / srednja vrijednost
- Korak 3: Zatim pomnožite parametar skale λ i varijablu x, a zatim izračunajte eksponencijalnu funkciju proizvoda pomnoženu s minus jedan, tj. E– λ * x.
- Korak 4: Konačno, funkcija gustoće vjerojatnosti izračunava se množenjem eksponencijalne funkcije i parametra skale.
Ako gornja formula vrijedi za sve x veće ili jednake nuli, tada je x eksponencijalna raspodjela.
Primjer
Ovaj predložak eksponencijalne distribucije Excel možete preuzeti ovdje - Excel predložak eksponencijalne distribucije
Uzmimo primjer, x, koliko je vremena potrebno uredu (u minutama) od uredskog stola do službeničkog stola. Pretpostavlja se da uzeta funkcija vremena ima eksponencijalnu raspodjelu s prosječnom količinom vremena jednakom pet minuta.
S obzirom da je x kontinuirana slučajna varijabla budući da se vrijeme mjeri.
Prosjek, μ = 5 minuta
Stoga je parametar skale, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20
Stoga se funkcija vjerojatnosti eksponencijalne raspodjele može izvesti kao,
f (x) = 0,20 e– 0,20 * x
Sada izračunajte funkciju vjerojatnosti pri različitim vrijednostima x da biste izveli krivulju raspodjele.
Za x = 0
funkcija vjerojatnosti eksponencijalne raspodjele za x = 0 bit će,
Slično tome, izračunajte funkciju vjerojatnosti eksponencijalne raspodjele za x = 1 do x = 30
- Za x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
- Za x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
- Za x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
- Za x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
- Za x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
- Za x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
- Za x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
- Za x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
- Za x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
- Za x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
- Za x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
- Za x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
- Za x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
- Za x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
- Za x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
- Za x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
- Za x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
- Za x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
- Za x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
- Za x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
- Za x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
- Za x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
- Za x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
- Za x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
- Za x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
- Za x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
- Za x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
- Za x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
- Za x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
- Za x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
- Za x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000
Izveli smo krivulju raspodjele kako slijedi,
Relevantnost i upotreba
Iako se pretpostavka o konstantnoj stopi vrlo rijetko zadovoljava u scenarijima iz stvarnog svijeta, ako je vremenski interval odabran na takav način da je brzina približno konstantna, tada se eksponencijalna raspodjela može koristiti kao dobar približni model. Ima mnogo drugih primjena u području fizike, hidrologije itd.
U statistici i teoriji vjerojatnosti izraz eksponencijalne raspodjele odnosi se na raspodjelu vjerojatnosti koja se koristi za definiranje vremena između dva uzastopna događaja koja se događaju neovisno i kontinuirano s konstantnom prosječnom brzinom. Jedna je od često korištenih kontinuiranih distribucija i strogo je povezana s Poissonovom distribucijom u excelu.